Cos'è relazione di equivalenza?

Una relazione di equivalenza è una relazione binaria su un insieme che soddisfa tre proprietà principali:

1. Riflessività: Ogni elemento dell'insieme è in relazione con se stesso. Formalmente, per ogni elemento a dell'insieme, a è in relazione con a (a ~ a).

2. Simmetria: Se due elementi sono in relazione tra loro, allora anche il secondo elemento è in relazione con il primo. Formalmente, se a è in relazione con b (a ~ b), allora b è in relazione con a (b ~ a).

3. Transitività: Se un elemento è in relazione con un secondo elemento e il secondo elemento è in relazione con un terzo elemento, allora il primo elemento è anche in relazione con il terzo elemento. Formalmente, se a è in relazione con b (a ~ b) e b è in relazione con c (b ~ c), allora a è in relazione con c (a ~ c).

Una relazione di equivalenza può essere vista come una divisione dell'insieme in sottoinsiemi chiamati classi di equivalenza. Due elementi dell'insieme sono considerati equivalenti se e solo se appartengono alla stessa classe di equivalenza. La classe di equivalenza di un elemento a è denotata [a] e contiene tutti gli elementi che sono in relazione con a.

Le relazioni di equivalenza sono utilizzate in diverse aree della matematica, come l'algebra, la teoria dei grafi, la teoria dei numeri e la teoria degli insiemi. In particolare, sono una componente fondamentale della teoria dei gruppi, dei sottoinsiemi e dei quozienti, nonché della teoria delle partizioni.

Le relazioni di equivalenza possono essere rappresentate tramite diagrammi chiamati diagrammi di Hasse, che mostrano le classi di equivalenza come nodi e le relazioni tra le classi come archi.